Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln: Tabellen für einen, zwei und fünf Würfel

Ein fairer Würfel zeigt jede Augenzahl auf lange Sicht gleich oft. Man nennt ihn auch idealen Würfel oder Laplace-Würfel, nach Pierre-Simon Laplace, der an der Wahrscheinlichkeitsrechnung forschte ^[1]. Jedes Ergebnis hat dann dieselbe Wahrscheinlichkeit, bei einem sechsseitigen Würfel also 1 von 6 ^[1]. Echte Würfel weichen durch Fertigungsungenauigkeiten immer etwas vom Ideal ab, bei hochwertigen Würfeln aber nur sehr wenig ^[1].

Ein Würfel

Mit einem Würfel ist jede Zahl von 1 bis 6 gleich wahrscheinlich, jede mit 1 von 6 oder rund 16,7 Prozent ^[1]. Der Erwartungswert, also der Mittelwert auf lange Sicht, liegt beim W6 bei 3,5 Augen ^[1]. Nach dem Gesetz der großen Zahlen gleichen sich die Häufigkeiten bei sehr vielen Würfen an ^[1]. In zwölf Würfen muss deshalb trotzdem nicht jede Zahl genau zweimal kommen.

Wie lange es bis zur Sechs dauert

Bei manchen Brettspielen braucht man eine Sechs, um eine Figur ins Spiel zu bringen. Bei der Variante "Ganz verrückt" des Spiels "Wer hat die 6...?" aus der ASS-Spielesammlung hat man dafür höchstens drei Versuche ^[5]. Die Wahrscheinlichkeit, in mehreren Würfen mindestens eine Sechs zu werfen, rechnet man über das Gegenteil: Keine Sechs fällt in einem Wurf mit 5 von 6, in drei Würfen mit 5/6 mal 5/6 mal 5/6. Der Rest ist die Chance auf mindestens eine Sechs (eigene Rechnung):

Mit drei Versuchen bleibst du also in mehr als der Hälfte der Fälle ohne Sechs stehen. Auch nach sechs Würfen fehlt die Sechs noch in rund einem Drittel der Fälle (eigene Rechnung).

Zwei Würfel: die Augensumme

Wirfst du zwei Würfel gleichzeitig, gibt es 6 mal 6, also 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Die Augensummen sind dagegen nicht gleich häufig. Das Diagramm ihrer Wahrscheinlichkeiten hat die Form eines Dreiecks: Eine Summe ist umso häufiger, je näher sie an der Mitte liegt ^[1]. Die 7 kann auf sechs Arten fallen (1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 und jeweils umgekehrt), die 2 und die 12 nur auf eine Art (eigene Rechnung):

Ein Pasch, also zwei gleiche Augenzahlen, fällt in 6 von 36 Würfen und damit ebenfalls mit rund 16,7 Prozent. Ein bestimmter Pasch wie der Sechserpasch kommt nur in einem von 36 Würfen vor (eigene Rechnung).

Beim Mäxchen gilt eine feste Rangfolge der Würfe ^[5]. Das Mäxchen aus 2 und 1 fällt dort doppelt so oft wie der Sechserpasch, weil es auf zwei Arten entstehen kann (eigene Rechnung). Die Tabelle mit den Chancen jeder Ansage steht auf der Seite Mäxchen: Regeln und Reihenfolge.

Drei Würfel

Mit drei Würfeln gibt es 6 mal 6 mal 6, also 216 Ergebnisse. Die Augensumme liegt zwischen 3 und 18. Am häufigsten sind 10 und 11 mit je 27 Möglichkeiten oder 12,5 Prozent, die 3 und die 18 kommen nur auf eine Art zustande (eigene Rechnung). Drei gleiche Augenzahlen fallen in 6 von 216 Würfen, also mit rund 2,8 Prozent. Genau zwei gleiche gibt es in 90 Fällen, alle drei verschieden in 120 Fällen (eigene Rechnung). Wie oft beim Schocken welcher Wurf fällt, steht unter Schocken: Regeln und Wertigkeiten.

Fünf Würfel: Pasch, Straße und Kniffel

Mit fünf Würfeln gibt es 6 hoch 5, also 7.776 mögliche Würfe. Die Figuren beim Kniffel sind so festgelegt: Ein Dreierpasch hat mindestens drei gleiche Zahlen, ein Viererpasch mindestens vier. Ein Full House besteht aus drei gleichen und zwei gleichen anderen Zahlen. Die kleine Straße hat vier aufeinanderfolgende Augenzahlen, die große Straße fünf, und ein Kniffel besteht aus fünf gleichen Zahlen ^[2]. Für einen einzigen Wurf ergibt sich (eigene Rechnung):

Die ersten sieben Zeilen schließen sich gegenseitig aus und ergeben zusammen 7.776 Würfe. Die Zeilen darunter überschneiden sich mit ihnen. Den Wert für genau vier gleiche nennt auch Wikipedia mit 150 zu 7.776 ^[2].

Ein Kniffel in drei Würfen

Beim Kniffel darf jeder bis zu dreimal würfeln und dabei Würfel zur Seite legen ^[2]. Behältst du nach dem ersten Wurf die häufigste Augenzahl und würfelst danach nur noch auf diese Zahl, gelingt ein Kniffel in rund 4,5 Prozent der Runden (eigene Rechnung). Das ist knapp das Sechzigfache eines Kniffels aus einem Wurf. Wikipedia rät, nicht bei jedem Wurf auf einen Kniffel zu spielen, um Streichungen auf dem Block zu vermeiden ^[2]. Regeln und Spielblock stehen unter Kniffel: Regeln, Punkte und Strategie.

Die Augensumme von fünf Würfeln

Je mehr Würfel du addierst, desto mehr rundet sich die Verteilung ab und nähert sich einer Normalverteilung ^[1]. Bei fünf Würfeln liegt die Summe zwischen 5 und 30. Am häufigsten sind 17 und 18 mit je rund 10,0 Prozent, die Extremwerte 5 und 30 fallen nur in einem von 7.776 Würfen (eigene Rechnung). Beim Kniffel zählt diese Summe im Feld Chance ^[2].

So rechnest du selbst

Für die meisten Fragen reichen zwei Regeln. Erstens: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl der günstigen Fälle geteilt durch die Zahl aller Fälle. So kommt die 7 mit zwei Würfeln auf 6 durch 36. Zweitens: Für "mindestens einmal" rechnet man besser das Gegenteil aus und zieht es von 1 ab, wie oben bei der Sechs.Ein Pasch mit zwei Würfeln hat wie die Sechs die Chance 1 von 6. In drei Würfen mit zwei Würfeln kommt deshalb ebenfalls mit 42,1 Prozent mindestens ein Pasch (eigene Rechnung).

Für die Frage, wie wahrscheinlich genau k gleiche Zahlen mit n Würfeln sind, nennt Wikipedia beim Würfelspiel Zehntausend die Formel (1/6)^k mal (5/6)^(n minus k) mal "n über k" ^[3]. Für genau drei Einsen mit sechs Würfeln ergibt sich daraus 625 von 11.664, also rund 5,36 Prozent ^[3]. Wie riskant ein Wurf beim Zehntausend ist, zeigt die Tabelle auf der Seite Zehntausend: Regeln und Punktetabelle.

Das Würfelproblem des Chevalier de Méré

Blaise Pascal schrieb am 29.07.1654 an Pierre de Fermat über einen Befund, der den Chevalier de Méré sehr erstaunt habe ^[4]. Wer mit einem Würfel eine Sechs in vier Würfen werfen will, ist im Vorteil, Pascal nennt das Verhältnis 671 zu 625. Wer dagegen mit zwei Würfeln eine Doppelsechs in 24 Würfen erreichen will, ist im Nachteil ^[4].

Nachgerechnet kommt die Sechs in vier Würfen mit 51,8 Prozent, die Doppelsechs in 24 Würfen nur mit 49,1 Prozent (eigene Rechnung). Die einfache Überlegung, 24 Würfe mit zwei Würfeln entsprächen vier Würfen mit einem, geht also nicht auf. Die Zahl 671 zu 625 aus Pascals Brief entspricht genau 671 von 1.296 Fällen, also den 51,8 Prozent.

Typische Denkfehler

Die folgenden Punkte folgen direkt aus der Rechnung mit fairen Würfeln. Eine Zahl, die lange nicht gefallen ist, ist nicht überfällig, denn jeder Wurf beginnt von vorn. Eine Summe von 7 ist mit zwei Würfeln häufiger als 6 oder 8, obwohl sich alle drei auf je drei Arten in zwei Augenzahlen zerlegen lassen. Entscheidend ist, wie viele geordnete Würfe dazu passen: Für die 7 sind es sechs, für die 6 und die 8 je fünf.

Ein Würfel kann aber absichtlich verändert sein. Wikipedia nennt gezinkte Würfel mit verschobener Gewichtsverteilung, unterschiedlich abgerundeten Kanten, verzogenen Flächen oder einem Magneten im Inneren ^[1]. Kasinos setzen deshalb oft durchsichtige Würfel ein ^[1].

Auch andere Würfelformen gehorchen denselben Regeln. Ein idealer W20 zeigt jede Zahl mit 1 von 20 ^[1]. Mit dem Werkzeug Würfel online kannst du bis zu zehn Würfel von W4 bis W20 werfen und die Verteilungen selbst ausprobieren. Wie man mit Karten statt Würfeln rechnet, zeigt Wahrscheinlichkeiten beim Poker.

1. Spielwürfel, Abschnitte Idealität und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wikipedia. Stand ohne Datum. abgerufen am 29.10.2026
2. Kniffel. Wikipedia. Stand ohne Datum. abgerufen am 29.10.2026
3. Zehntausend (Spiel), Abschnitt Punktetabelle. Wikipedia. Stand ohne Datum. abgerufen am 29.10.2026
4. Organisation Fermat and Pascal on Probability (Brief Pascals an Fermat vom 29.07.1654, englische Übersetzung). University of York, Department of Mathematics. Stand ohne Datum. abgerufen am 29.10.2026
5. Organisation Spielesammlung mit 365 Spielmöglichkeiten, Abschnitte "Wer hat die 6...?" (S. 8) und Mäxchen (S. 18). ASS Altenburger Spielkarten. Stand ohne Datum. abgerufen am 29.10.2026

Zuletzt geprüft am 29.10.2026, nächste Prüfung spätestens im Oktober 2027. Fehler entdeckt? Schreib uns.